集合論の公理系(その 9) - Red cat の数学よもやま話

どうも。仕事が忙しいのでまたまたご無沙汰してしまいました。ここからは、再び公理系の紹介に戻ります。

無限公理

無限公理

$\exists a(\emptyset\in a\wedge\forall x(x\in a\to x\cup\{x\}\in a))$

この a は $\emptyset$ を要素として含み、そのことから $\emptyset\cup\{\emptyset\}=\{\emptyset\}$ を要素として含みます。そして、そのことから $\{\emptyset\}\cup\{\{\emptyset\}\}=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}$ を要素として含み…というように、無限*1の要素を含んでいます。この公理は、そのように「限りなく多くの元を要素に持つ集合」の存在を主張するものです。

*1:無限と言っても、これは私たちが感覚として持っている無限であり、集合の濃度の意味での無限かどうかは改めて論議を必要とします。