集合論の公理系(その 8) - Red cat の数学よもやま話

今回は、前回の公約どおり、ここまでの公理系を用いて示すことが出来る集合の性質を見て行きます。

部分集合に関する性質

証明は簡単なので、結論のみ。

$x\subseteq x$
$x\subseteq y\leftrightarrow x\subset y\vee x=y$
$x\subseteq y\wedge y\subseteq z\to x\subseteq z$
$x\subseteq y\wedge y\subset z\to x\subset z$
$x\subset y\wedge y\subseteq z\to x\subset z$

和集合に関する性質

(i) $t\in x\cup y\leftrightarrow t\in x\vee t\in y$
(証明)
$\begin{array}{ccl}t\in x\cup y&\leftrightarrow&\exists u(u\in\{x,y\}\wedge t\in u)\\&\leftrightarrow&\exists u((u=x\vee u=y)\wedge t\in u)\\&\leftrightarrow&\exists u(t\in x\vee t\in y)\\&\leftrightarrow&t\in x\vee t\in y\end{array}$
(ii) $\{x_1,x_2\}=\{x_1\}\cup\{x_2\}$
(証明) 対公理により
$\begin{array}{ccl}t\in\{x_1,x_2\}&\leftrightarrow&t=x_1\vee t=x_2\\&\leftrightarrow&t\in\{x_1\}\vee t\in\{x_2\}\\&\leftrightarrow&t\in\{x_1\}\cup\{x_2\}\end{array}$
最後の同値は (i) による。

空集合に関する性質

(i) $\forall x(\emptyset\subseteq x)$
(証明)
$\forall y(y\in\emptyset\to y\in x)$ は $y\in\emptyset$ が常に偽であるから常に真。
(ii) $\emptyset\cup u=u$
(証明)
$t\in\emptyset\cup u\leftrightarrow t\in\emptyset\vee t\in u\leftrightarrow t\in u$