圏論への誘い(その 6)

数学・その他

差核と双対差核

圏 \mathcal{C} の対象 a,b と、射 f_1,f_2:a\to b を固定します。このとき c\stackrel{e}{\to}a が

  1. f_1\circ e=f_2\circ e
  2. d\stackrel{e'}{\to}a で f_1\circ e'=f_2\circ e' なるものが存在すれば、h:d\to c で e'=e\circ h を満たすものが一意的に存在する

の二つの条件を満たすとき、f_1 と f_2 の差核(difference kernel)または等化(equalizer)であると言います。

またこのとき、対象 c のことを c={\rm Ker}(f_1,f_2) と書きます。
差核 c\stackrel{e}{\to}a が存在すれば、それは単射になります。実際 c\stackrel{e}{\to}a を f_1,f_2:a\to b の差核とし、g_1,g_2:d\to c とします。このとき
e\circ g_1=e\circ g_2\Rightarrow g_1=g_2
を示せば良いわけですが、各 g_1(i=1,2) に対して
k=e\circ g_1=e\circ g_2
とすると f_1\circ k=f_2\circ k が成り立つので、e\circ h=k を満たす射 h:d\to c が一意に存在します。このとき g_1=h=g_2 が成り立つことは明らかでしょう。
さて、直積に対する直和の定義と同様、射の向きを逆にすると双対差核(difference cokernel)(または余等化(coequalizer))の定義を得ます。それは圏 \mathcal{C} の対象 a,b と、射 f_1,f_2:a\to b に対して b\stackrel{e}{\to}c が

  1. e\circ f_1=e\circ f_2
  2. b\stackrel{e'}{\to}d で e'\circ f_1=e'\circ f_2 なるものが存在すれば、h:c\to d で e'=h\circ e を満たすものが一意的に存在する

の二つの条件を満たすもののことです。

このときの対象 c を {\rm Coker}(f_1,f_2) と書きます。差核の場合と同様の方法で、双対差核も、存在すればそれは全射になることが証明できます。
さて、「双対」という言葉が出てきました。「双対」とは、要するに射の向きを逆向きに考えたときに現れる概念なのですが、詳しい種明かしはもう少し後にしたいと思います。
「双対」の意味が分かれば、直和のことを「双対直積」とも言うことがあるのが、容易に理解できるかと思います。