圏論への誘い(その 2) - Red cat の数学よもやま話

もう少し下準備にお付き合いください。

より拡張された意味での「写像」

$x,y$ を小さな集合とするとき、 $x\times y$ の部分集合を $x$ から $y$ への対応と言いました。特に、対応 $f$ が
$(\forall a\in x)(\exists !b\in y(\langle a,b\rangle\in f))$ *1] の略記です。))
を満たすとき、 $x$ から $y$ への写像と言い、 $a\in x$ に対して $\langle a,b\rangle\in f$ となる $b\in y$ のことを $b=f(a)$ と書くのでした。
この定義方法を、より拡張された意味での「集合」にそのまま適用すれば、より拡張された意味での「写像」を構築することが出来ます。
通常、圏論で「写像」というときは、この意味での「写像」を指すことがほとんどです。

*1: $\exists !x\varphi(x)$ とは $\exists x\varphi(x)\wedge\forall x\forall y(\varphi(x)\wedge\varphi(y)\rightarrow y=x)$ もしくは [tex:\exists x\forall y(y=x\leftrightarrow\varphi(y