Fermat の最終定理に挑む(その 11) - Red cat の数学よもやま話

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の整数論(続き)

さて、 $\mathbb{Z}[\omega]$ には、もう一つ、著しい性質があります。それは、 $\alpha,\beta\in\mathbb{Z}[\omega](\beta\neq 0)$ に対し
$\alpha=\beta\lambda+\rho,|N(\rho)|<|N(\beta)|$
となる $\lambda,\rho\in\mathbb{Z}[\omega]$ が存在することです。
$\frac{\alpha}{\beta}\in\mathbb{Q}(\omega)$ 故、
$\frac{\alpha}{\beta}=a'+b'\omega(a,b\in\mathbb{Q})$
と書けます。ここで $a',b'$ に最も近い有理整数をそれぞれ $a,b$ とおき $\lambda=a+b\omega$ とおきます。このとき
$|a'-a|\leq\frac12,|b'-b|\leq\frac12$
故、
$\begin{align}|N(\frac{\alpha}{\beta}-\lambda)|&=|N((a'-a)+(b'-b)\omega)|\\&=|(a'-a)^2+(a'-a)(b'-b)-(b'-b)^2|\\&\leq\frac14+\frac14+\frac14=\frac34<1\end{align}$
となります。そこで $\rho=\alpha-\beta\lambda$ とおけば
$\begin{align}|N(\rho)|&=|N(\beta)N(\frac{\alpha}{\beta}-\lambda)|\\&<|N(\beta)|\end{align}$
となります。これにより $\mathbb{Z}[\omega]$ は Euclid 環となり、従って素因数分解の一意性が成り立つのです ! このようなことは非常に特殊なケースで、例えば d:id:redcat_math:20051002 にも書いたように、 $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ では素因数分解の一意性は成り立ちません。
以降、明日、必要な補題を 5 個用意し、明後日、いよいよ Fermat の最終定理の n = 5 の場合の証明に入りたいと思います。