Fermat の最終定理に挑む(その 10) - Red cat の数学よもやま話

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の整数論

$5\equiv 1\pmod{4}$ により、 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の整数は
$\frac{x+y\sqrt{5}}{2}$ , $x\equiv y\pmod{2}$
の形をしています。 $x-y=2a,y=b$ とおくと
$\frac{x+y\sqrt{5}}{2}=\frac{(2a+b)+b\sqrt{5}}{2}=a+b(\frac{1+\sqrt{5}}{2})$
とかけるので、 $\omega=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ *1とおけば、 $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ の整数環は
$\mathbb{Z}[\omega]=\{a+b\omega|a,b\in\mathbb{Z}\}$
と表すことが出来ます。
さて、
$N(\omega)=\omega\bar{\omega}=(\frac{1+\sqrt{5}}{2})(\frac{1-\sqrt{5}}{2})=-1$
故、 $\omega$ は単数ですが、実は $\mathbb{Z}[\omega]$ の単数は、全て $\pm\omega^n$ (n は整数)の形であることが分かります。
まず、 $1<\varepsilon<\omega$ なる単数 $\varepsilon$ が存在しないことを示します。
$\varepsilon=a+b\omega(a,b\in\mathbb{Z})$
とおきます。 $-\bar{\varepsilon}=\frac{-N(\varepsilon)}{\varepsilon}$ で $N(\varepsilon)=\pm 1$ なので $|-\bar{\varepsilon}|=\frac{1}{\varepsilon}<1$ です。故に
$-1<-a-b\bar{\omega}<1$
です。また、仮定により $1<a+b\omega<\omega$ なので、辺辺加えて
$0<\sqrt{5}b<1+\omega<3$
が成り立ちます。b は有理整数なので b = 1、従って $1<a+\omega<\omega$ となりますが
$-1<1-\omega<a<0$
となって、a は有理整数ですからこれは矛盾です。従って $\omega$ は 1 より大きい最小の単数です。
次に、 $\varepsilon$ を任意の単数とします。 $\varepsilon>0$ ならば
$n=[\frac{\log\varepsilon}{\log\omega}]$ ([・] はGauss 記号)
とおけば $\omega^n\leq\varepsilon<\omega^{n+1}$ です。単数の性質から $\frac{\varepsilon}{\omega^n}$ も単数ですが、 $\varepsilon\neq\omega^n$ ならば
$1<\frac{\varepsilon}{\omega^n}<\omega$
となって矛盾します。従って $\varepsilon=\omega^n$ となります。 $\varepsilon<0$ ならば $-\varepsilon>0$ に対して同じことをすれば $-\varepsilon=\omega^n$ なる整数 n が存在するので $\varepsilon=-\omega^n$ となり、証明が終わります。
このように $\mathbb{Z}[\omega]$ には無限に単数が存在することが分かります。

*1:1 の虚 3 乗根と混同しないように。