Fermat の最終定理に挑む(その 5) - Red cat の数学よもやま話

そもそも二次体とは ?

L を二次体とします。このとき、L は $\mathbb{Q}$ 上の二次のベクトル空間ですから、L の元 x は、ある $\theta\in L$ (もちろん $\theta\not\in\mathbb{Q}$ ) を用いて
$x=a+b\theta$ ( $a,b\in\mathbb{Q}$ )
と表せます。そこで、 $\theta$ の最小多項式を
$x^2-px+q$
とすると
$\theta=\frac{p\pm\sqrt{p^2-4q}}{2}$
のいずれかですが、このとき
$\sqrt{p^2-4q}=r\sqrt{m}$
となるような有理数 r、及び、平方因子を持たない整数 m が存在します。従って $\theta\in\mathbb{Q}(\sqrt{m})$ が成り立ちます。このことから、二次体 L は、平方因子を持たないある整数 m を用いて
$L=\mathbb{Q}(\sqrt{m})$
と表すことが出来ます。m は平方因子を持たないので、 $m\not\equiv 0\pmod{4}$ となることに注意しましょう。