Fermat の最終定理に挑む(その 2) - Red cat の数学よもやま話

ピタゴラス数

いきなり最終定理に挑む前に、n = 2 の場合、すなわち
$x^2+y^2=z^2,\gcd(x,y)=1$ … (*)
を満たす自然数解について考えて見ましょう。そのようなものは無限に存在し、それらはピタゴラス数(pythagorean number)と言われます。ピタゴラス数は、具体的に表すことが出来ます。以下、それを示しましょう。
まず、x と y がともに奇数であるとすると、 $x^2\equiv 1\pmod{4},y^2\equiv 1\pmod{4}$ なので
$z^2=x^2+y^2\equiv 2\pmod{4}$
となり矛盾します。従って、どちらか一方は偶数となるので、x が偶数であるとして一般性を失いません。そうすると、y と z はともに奇数となり、また x と y が互いに素なので、y と z も互いに素です。
このとき、 $\frac{z+y}{2},\frac{z-y}{2}$ はともに整数、特に自然数で、なおかつ互いに素です。実際 y と z が互いに素なので
$pz+qy=1$
を満たす整数 p , q が存在し、
$(p+q)\frac{z+y}{2}+(p-q)\frac{z-y}{2}=pz+qy=1$
となるから。
そこで (*) 式を変形すると
$(\frac{z+y}{2})(\frac{z-y}{2})=(\frac{x}{2})^2$
となるので、上記のことと素因数分解の一意性から
$\frac{z+y}{2}=a^2,\frac{z-y}{2}=b^2,a>b>0$
となる互いに素な整数 a , b が存在することが分かります。またこのとき
$a+b\equiv a^2+b^2=z\equiv 1\pmod{2}$
が分かります。従って
$x=2ab,y=a^2-b^2,z=a^2+b^2,$
$a>b>0,\gcd(a,b)=1,a+b\equiv 1\pmod{2}$
なる一般解を得ます。逆に x , y , z がこの形であれば
$x^2+y^2=(2ab)^2+(a^2-b^2)^2=(a^2+b^2)^2=z^2$
であり、 $\gcd(x,y)=d$ とすると $d|z$ により
$d|y=a^2-b^2,d|z=a^2+b^2$
が成り立ちます。故に
$d|(z+y)=2a^2,d|(z-y)=2b^2$
となり、 $\gcd(a,b)=1$ により $d=1$ または $d=2$ のいずれかでなければなりませんが、
$y=a^2-b^2\equiv a^2+b^2\equiv (a+b)^2\equiv 1\pmod{2}$
により y が奇数であることが分かるので $d=1$ となり、一般解はこの形に限ることが分かります。