平行移動を一次変換と思う - Red cat の数学よもやま話

xy-平面において、一次変換は原点を動かしません。従って、平行移動を一次変換と思うことは、一見無理に見えます。しかし、です。
$P=\left\{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}\middle|(x,y)\in\mathbb{R}^2\right\}$
を xy-平面とみなすと
$A=\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\0&0&1\end{pmatrix}$
の形をした行列は P を P の中に写します。なぜならば
$\begin{pmatrix}a&b&c\\a'&b'&c'\\0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}ax+by+c\\a'x+b'y+c'\\1\end{pmatrix}\in P$
だからです。このように解釈することで、二次曲線の分類が二次形式の標準化の問題になり、行列の知識を用いてこれを行うことができます。