群の表現と行列の Jordan 標準形(その 2) - Red cat の数学よもやま話

表現の同値

さて、群の表現を数え上げると言っても、実質的に同じとみなせるものまでいちいち数え上げるのは御免こうむりたいものです。そこで、G の二つの表現
$\pi_V:G\to GL(V),\pi_W:G\to GL(W)$
が同値であるということを
$\exists f:V\stackrel{\sim}{\to}W$ s.t. $f\pi_V(x)=\pi_W(x)f(\forall x\in G)$
で定義します。これが本当に同値関係になっていることは、簡単な演習問題として残しておきましょう。くどいようですが、V が有限次元のとき
$f:K^n\stackrel{\sim}{\to}V$
なる同型が作れるので、表現 $\pi:G\to GL(V)$ に対し $\pi':G\to GL_n(K)$ を
$\pi'(x)=f^{-1}\circ\pi(x)\circ f$
で定義すると、 $\pi'$ と $\pi$ は同値になります。
これまたアタリマエのことなのですが、G の二つの表現が同値ならば、その表現空間は G 加群として同型です。従って、群の表現論は、「G 加群の同型類を調べること」と言い換えられます。

群環 K[G]

G を群(有限でなくても良い)として、K を可換環とします。このとき G の元を自由基底とする K 加群が自然に考えられます。それは
$\sum\limits_{x\in G}a_x x,$ ただし $\{a_x\}_{x\in G}$ は有限個を除き 0
という形に書けるものの全体です。*1これを K[G] で表します。
ときに G は群でしたから、
$\left(\sum a_x x\right)\left(\sum b_x x\right)=\sum c_x x,c_x=\sum\limits_{gh=x}a_gb_h$
として積を定義することができます。また、G の単位元を $1_G$ とするとき $1=1\cdot 1_G$ は積に関する単位元となります。これらのことから K[G] は(多元)環の構造を持つことがわかります。これを群環と言います。
ところで、この定義によれば、本質的には G が単位元を持つ半群であれば良い*2ことになります。この場合は K[G] を半群環と言います。(続く)

*1:これは G から K への写像 $f:G\to K$ で、有限個の $x\in G$ を除く G の元に対しては値が 0 となるようなものの全体ともみなせます。

*2:Jordan 標準形との関係において、実はこのことが後々「肝」になるのですが、それは後日のお楽しみ。