群の表現と行列の Jordan 標準形(その 1)

数学・代数

今日から数回に分けて、群の表現と行列の Jordan 標準形の関係についてお話したいと思います。
あまり一般化するとややこしくなる(というより、私自身が詳しくない)ので、G は有限群、K は標数が 0 の代数閉体とします。
K 上のベクトル空間 V があって、G から、V 上の線型自己同型写像の全体がなす群 GL(V) への準同型
\pi:G\to GL(V)
が与えられているとしましょう。このとき、アタリマエですが

  • x\in G,a_1,a_2\in K,v_1,v_2\in V のとき \pi(x)(a_1v_1+a_2v_2)=a_1\pi(x)(v_1)+a_2\pi(x)(v_2)
  • x,y\in G,v\in V のとき \pi(xy)(v)=\pi(x)(\pi(y)(v))

が成り立っています。このとき、V は G 加群であると言います。また、V が有限次元ならば、\dim V=n とおくと V\stackrel{\sim}{=}K^n なので、V の基底を一組定めることで GL(V)\stackrel{\sim}{=}GL_n(K) とみなせますから、自然に準同型 \pi:G\to GL_n(K)*1 が定まり、もし \pi が単射ならば、G をあたかも GL_n(K) の部分群であるかのように思うことが出来ます。これは、抽象的(かも知れない)群 G を、よく知られている群 GL_n(K) の中で「表現」したことになります。
これに倣って、群の準同型 \pi:G\to GL(V) のことを G の(線型)表現と言い、V のことを表現空間と言います。
一つ、具体的な例を挙げましょう。3 次対称群
S_3=\{1,\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix}\}
に対して
\pi(1)=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&1\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&0&1\\0&1&0\\1&0&0\end{pmatrix},\\\pi(\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\1&0&0\end{pmatrix}
と定めれば、\pi:S_3\to GL_3(K) は群の準同型なので、これは立派な S_3 の線型表現です。また、
\pi(1)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}-1&-1\\0&1\end{pmatrix},\\\pi(\begin{pmatrix}2&3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}1&0\\-1&-1\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&2&3\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}-1&-1\\1&0\end{pmatrix},\pi(\begin{pmatrix}1&3&2\end{pmatrix})=\begin{pmatrix}0&1\\-1&-1\end{pmatrix}
と定めると、\pi:S_3\to GL_2(K) も群の準同型なので、S_3 の別の表現を得ます。このように、群の表現は一通りとは限らないため、ある群 G の可能な表現はどれだけあるのか、ということが興味の対象になります。これが「表現論」と言われるものです。(続く)

*1:もう V は基底を決めていますので、ここで記号を濫用して同じ \pi を用いています。