ホモロジー群とホモトピー群

多様体にホモロジー群が定義できるのと同様にして、「ホモトピー群」というものが定義できます。これは基本群(= 1 次ホモトピー群)の拡張のようなものです。名前は似ていますが、両者には大きな違いがあります。
n 次元多様体を考えます。このとき、(n + 1) 次以上のホモロジー群は 0 です。ところが、ホモトピー群ではそうは行きません。実際

となることがわかっています(証明は省略)。
似て非なるもの。しかし、だからこそ興味の対象になり得るのが数学の面白さでもあります。