二次方程式の解の公式 - Red cat の数学よもやま話

二次方程式の解の公式は、中学校で必ず覚えさせられます。しかし、平方完成のやり方さえマスターしていれば、次のようにして導けるのです。以下、a ≠ 0 とします。
$\begin{align}ax^2+bx+c&=0\\a(x^2+\frac{b}{a}x)+c&=0\\a(x^2+2\frac{b}{2a}x)+c&=0\\a\{x^2+2\frac{b}{2a}x+\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\left(\frac{b}{2a}\right)^2\}+c&=0\\a\{\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a^2}\}+c&=0\\a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{b^2}{4a}+c&=0\\a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2&=\frac{b^2}{4a}-c\\a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2&=\frac{b^2-4ac}{4a}\\ \left(x+\frac{b}{2a}\right)^2&=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\\x+\frac{b}{2a}&=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\\x&=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\end{align}$
あらお見事。これで万が一忘れても大丈夫。二次方程式において最も大事な事は、解の公式を覚えることではなく、平方完成を確実にマスターすることなのです。これは高校に入って習う「二次関数」の分野にもつながる、大事なテクニックなのです。