三角関数・三倍角の公式 - Red cat の数学よもやま話

よく、「○○の公式は覚えた方がいいですか ?」という質問をされるのですが、公式は何でもかんでも覚えればよいというものでもありません。その代表格が三角関数の三倍角の公式。例えば $\sin 3\theta$ は、加法定理と倍角の公式を覚えていれば
$\begin{align}\sin 3\theta&=\sin(2\theta+\theta)\\&=\sin 2\theta\cos\theta+\cos 2\theta\sin\theta\\&=(2\sin\theta\cos\theta)\cos\theta+(1-2\sin^2\theta)\sin\theta\\&=2\sin\theta\cos^2\theta+\sin\theta-2\sin^3\theta\\&=2\sin\theta(1-\sin^2\theta)+\sin\theta-2\sin^3\theta\\&=2\sin\theta-2\sin^3\theta+\sin\theta-2\sin^3\theta\\&=3\sin\theta-4\sin^3\theta\end{align}$
でめでたく導けます。三角関数では、加法定理と倍角の公式さえ覚えておけば、他は全て導けるのです。何でもかんでも覚えようとしたら、脳味噌パンクしますよ。