一般逆行列(その 2) - Red cat の数学よもやま話

Hausholder 行列

$\mathbb{K}$ は $\mathbb{R}$ か $\mathbb{C}$ を表すものとする。
$\mathbf{u}\in\mathbb{K}^n$ が $||\mathbf{u}||=1$ を満たすとき
$H(\mathbf{u})=E_n-2\mathbf{u}\mathbf{u}^*$ ( $E_n$ は単位行列)
とおく。このとき明らかに $H(\mathbf{u})^*=H(\mathbf{u})$ 、すなわち $H(\mathbf{u})$ は Hermite 行列である。また
$\begin{align}H(\mathbf{u})^* H(\mathbf{u})&=H(\mathbf{u})^2\\&=(E_n-2\mathbf{u}\mathbf{u}^*)^2\\&=E_n-4\mathbf{u}\mathbf{u}^*+4\mathbf{u}\mathbf{u}^*\mathbf{u}\mathbf{u}^*\\&=E_n-4\mathbf{u}\mathbf{u}^*+4\mathbf{u}\mathbf{u}^*\\&=E_n\end{align}$
だから、 $H(\mathbf{u})$ は unitary 行列でもある。この $H(\mathbf{u})$ のことを Hausuholder 行列という。
$H(\mathbf{u})\mathbf{x}=(E_n-2\mathbf{u}\mathbf{u}^*)\mathbf{x}=\mathbf{x}-2\mathbf{u}\mathbf{u}^*\mathbf{x}=\mathbf{x}-2(\mathbf{u}^*\mathbf{x})\mathbf{u}$
が成り立つ。

今、 $\mathbf{x}\neq\mathbf{y},||\mathbf{x}||=||\mathbf{y}||,\mathbf{x}^* \mathbf{y}=\mathbf{y}^* \mathbf{x}(\Leftrightarrow\mathbf{x}^* \mathbf{y}\in\mathbb{R})$ を満たす $\mathbf{x},\mathbf{y}\in\mathbb{K}^n$ に対して
$\mathbf{u}=\frac{\mathbf{x}-\mathbf{y}}{||\mathbf{x}-\mathbf{y}||}$
とおくと、
$\begin{align}H(\mathbf{u})\mathbf{x}&=\mathbf{x}-2(\mathbf{u}^*\mathbf{x})\mathbf{u}\\&=\mathbf{x}-2\frac{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^*\mathbf{x}}{||\mathbf{x}-\mathbf{y}||^2}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\&=\mathbf{x}-\frac{2(\mathbf{x}^* \mathbf{x}-\mathbf{y}^* \mathbf{x})}{(\mathbf{x}-\mathbf{y})^*(\mathbf{x}-\mathbf{y})}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\&=\mathbf{x}-\frac{2(||\mathbf{x}||^2-\mathbf{y}^* \mathbf{x})}{||\mathbf{x}||^2+||\mathbf{y}||^2-(\mathbf{x}^* \mathbf{y}+\mathbf{y}^* \mathbf{x})}(\mathbf{x}-\mathbf{y})\\&=\mathbf{x}-\frac{2(||\mathbf{x}||^2-\mathbf{y}^* \mathbf{x})}{2(||\mathbf{x}||^2-\mathbf{y}^* \mathbf{x})}(\mathbf{x}-\mathbf{y})=\mathbf{y}\end{align}$
となることに留意しておく。