集合論の公理系(その 6) - Red cat の数学よもやま話

和集合公理

$\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow\exists u(u\in x\wedge z\in u))$

この公理は、与えられた「集合からなる集合」に対して、それらの集合の要素を全ての要素とする集合(和集合)の存在を主張します。このような y はやはり一意的に定まり、それを $\cup x$ で表します。特に $\cup\{x,y\}$ のことを $x\cup y$ と書きます。

べき集合公理

$\forall x\exists y\forall z(z\in y\leftrightarrow z\subseteq x)$

この公理では、与えられた集合の部分集合をすべての要素とする集合(べき集合)の存在を主張します。この公理によって x から定まる集合の事を $\mathcal{P}(x)$ で表します。