Bessel 型の微分方程式に… - Red cat の数学よもやま話

$y^{\prime\prime}+x^2 y=0$ なる微分方程式を、Bessel 型の微分方程式に帰着させる計算をひたすらゴリゴリ。ヒントは $y=u\sqrt{x},z=\frac{x^2}{2}$ とのこと。
まず、1 時間くらい計算してみる。…合わない。どうやっても合わない。「ヒント間違ってんじゃねぇかｺﾞﾙｧ」と叫びたいところを抑えて…。
「マァ茶でも飲め ! ( ・∀・)つ旦」
お菓子頬張りながら抹茶で一息。糖分も補給したし、少しは脳も休まったはず…。
再度 30 分くらい格闘。…また合わない。もう一度自分の計算を見直してみる。HTML タグで書いてるので、見辛いことこの上ない。最終的に Maxima も持ち出して総動員。…私が計算間違ってました。スミマセン orz
結論 1 : $z^2\frac{d^2 u}{dz^2} + z\frac{du}{dz} + \{z^2-\left(\frac14\right)^2\}u=0$
結論 2 : 寝不足のときは複雑な計算をするもんじゃない。
ちなみに計算過程は秘密でおじゃる。