圏論への誘い(その 9) - Red cat の数学よもやま話

圏論に戻ります。

双対圏

圏 $\mathcal{C}$ が与えられたとき、その双対圏(dual category)(もしくは逆圏(opposite category)) $\mathcal{C}^{\rm op}$ を、以下のように定義することができます。
まず、 $\mathcal{C}^{\rm op}$ の対象とは $\mathcal{C}$ の対象です。そして、 $a,b\in O(\mathcal{C})$ のとき
$\hom_{\mathcal{C}^{\rm op}}(a,b)=\hom_{\mathcal{C}}(b,a)$
で定義します。つまり、 $\mathcal{C}^{\rm op}$ における a から b への射とは、 $\mathcal{C}$ における b から a ヘの射のことを言うわけです。
このようにすると、 $\mathcal{C}$ において終対象・直積・差核・pullback だったものは、 $\mathcal{C}^{\rm op}$ においては始対象・直和・双対差核・pushout になっています。逆に、 $\mathcal{C}$ において始対象・直和・双対差核・pushout だったものは、 $\mathcal{C}^{\rm op}$ においては終対象・直積・差核・pullback になっています。

積圏

二つの圏 $\mathcal{C},\mathcal{D}$ が与えられたとき、

$O(\mathcal{C}\times\mathcal{D})=O(\mathcal{C})\times O(\mathcal{D})$
$\hom_{\mathcal{C}\times\mathcal{D}}(\langle a_1,b_1\rangle,\langle a_2,b_2\rangle)=\hom_{\mathcal{C}}(a_1,a_2)\times\hom_{\mathcal{D}}(b_1,b_2)$

と定めることにより、新しい圏 $\mathcal{C}\times\mathcal{D}$ を作ることが出来ます。このようにして出来た圏を積圏と言います。