決着・1 + 1/2 + … + 1/m - Red cat の数学よもやま話

決着がつきました。しかも Chebychev の定理なんか必要なかった orz
$a=1+\frac12+\cdots+\frac1m(m\geq 2)$ … (*)
とおく。以下、a が自然数であるとして矛盾を導く。
$n=2^k\leq m$ となる最大の $n=2^k$ を取り、
$b=1\cdot 3\cdot\cdots\cdot(2[\frac{m+1}{2}]-1)$
(すなわち b は m 以下の奇数全ての積)
とおいて、(*) の両辺に $2^{k-1}b$ を掛ける。このとき左辺はもちろん自然数である。ここで右辺を見ると $\frac1n$ 以外の項は
$\frac{1}{2^i l}$ ( $0\leq i<k$ , l は m 以下の奇数)
の形をしているから、 $2^{k-1}b$ を掛ければ自然数となる。ところが
$\frac{2^{k-1}b}{n}=\frac{b}{2}$
は自然数でないから、右辺に $2^{k-1}b$ を掛けたものは自然数にならないので矛盾。故に
$1+\frac12+\cdots+\frac1m(m\geq 2)$
は自然数ではない。