正 n 角形の作図可能性 - Red cat の数学よもやま話

正 n 角形が作図できるための必要十分条件は、複素平面内で $\zeta_n=\exp(\frac{2\pi i}{n})$ が作図できることです。
一般にある $\alpha_0\in\mathbb{C}$ が作図できるための必要十分条件は、体の拡大の列
$\mathbb{Q}(\alpha_0)\supset\mathbb{Q}(\alpha_1)\supset\cdots\supset\mathbb{Q}(\alpha_m)\supset\mathbb{Q}$
で、拡大次数について

$[\mathbb{Q}(\alpha_{k-1}):\mathbb{Q}(\alpha_k)]=2$ (k = 1,2,…,m)
$[\mathbb{Q}(\alpha_m):\mathbb{Q}]=2$

が成り立つものが存在することです。
ところで $\zeta_n$ の $\mathbb{Q}$ 上の最小多項式は n 次の円分多項式 $\Phi_n(x)$ ですから、拡大次数について
$[\mathbb{Q}(\zeta_n):\mathbb{Q}]=\deg\Phi_n(x)$
がわかります。従って
$\deg\Phi_n(x)\neq 2^e$
ならば、正 n 角形は作図不可能であることがわかります。例えば正七角形は作図不可能( $\deg\Phi_7(x)=6\neq 2^e$ )です。
逆に、 $\deg\Phi_n(x)=2^e$ であれば正 n 角形は作図可能(らしい)です。
例えば、正五角形は作図できます。
$\eta=\zeta_5+{\zeta_5}^{-1}$
とおくと、 $\zeta_5$ が満たすべき方程式
$\Phi_4(x)=x^4+x^3+x^2+x+1=0$
を変形して、 $\eta$ が満たすべき二次方程式
$\eta^2+\eta-1=0$
を得るので
$[\mathbb{Q}(\eta):\mathbb{Q}]=2$
です。また、 $\zeta_5$ は $\mathbb{Q}(\eta)$ 係数の二次方程式
${\zeta_5}^2-\eta\zeta_5+1=0$
を満たすので
$[\mathbb{Q}(\zeta_5):\mathbb{Q}(\eta)]=2$
です。よって体の拡大の列
$\mathbb{Q}(\zeta_5)\supset\mathbb{Q}(\eta)\supset\mathbb{Q}$
が存在して、それぞれの拡大次数が 2 なので、 $\exp(\frac{2\pi i}{5})$ が作図でき、従って正五角形は作図できるというわけです。正十七角形が作図可能であることも、(難しいですが)同じように証明出来ます。
なんだ、円分多項式、役に立ってるじゃん。