位数 2 の半群に戻る - Red cat の数学よもやま話

なんだか最近「Red cat の半群よもやま話」になってる気が…。
それはそれとして、 $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ をうまく使うと面白いことを発見。例えば位数 2 の半群は $\mathbb{Z}_4$ をつかうと

零半群	$\{\bar{0},\bar{2}\}$
半束	$\{\bar{0},\bar{1}\}$
群	$\{\bar{1},\bar{3}\}$

と、非可換な右零半群以外は全て 1 次の忠実表現を持ちます。位数 3 でも半束(鎖ではない方)は $\mathbb{Z}_6$ を使うと
$\{\bar{0},\bar{3},\bar{4}\}$
と書けたり。思いついたので追加しておくと、零半群は $\mathbb{Z}_9$ を使って
$\{\bar{0},\bar{3},\bar{6}\}$
とか、巾零巡回半群は $\mathbb{Z}_8$ を使って
$\{\bar{0},\bar{2},\bar{4}\}$
とか。まぁ、今はあまり深入りしないでおきますが(ぇ