半群の行列環における忠実表現

有限半群 S に対して、適当な係数環 R をとったときに、同じように単射 が作れるのではないか

と書きましたが、

この n は、高々 S の位数で抑えられる

ことは自明らしい

と書いたのですが、このことを教えてくださった方が自明ではなかったといって証明を教えてくださいました。これを参考にして、位数 2 , 3 くらいの半群の忠実表現を書き上げて見たいと思います。もっとも、いつになるか分かりませんけど(ぉ