連続体問題 - Red cat の数学よもやま話

くるるさん(id:kururu_goedel)のところでなにやらいろいろと書かれている「連続体問題」ですが、これはカントールが提唱した連続体仮説に関するお話のようです。連続体仮説を集合の濃度の記号を用いて表すと、その主張は
「 $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ であろう」
と言うもので、ZF 公理系に選択公理を加えたものが無矛盾*1ならば、それに連続体仮説の肯定、もしくは否定のいずれかを加えたものもまた無矛盾になることが知られています。
ところが、実際に $2^{\aleph_0}=\aleph_1$ を認めてしまうと、いろいろと「不自然」な結果が導かれてしまう*2らしく、この点に関しては、「不完全性定理」で有名なゲーデルも、その「不自然」さを認識していたようです。
で、もっぱら研究者の間では「 $2^{\aleph_0}=\aleph_2$ であって欲しい」という考えが主流になっている様子。
まぁ、私はこの辺のお話は一度勉強しようと思いながら手を付けられずに放置している状態なので、正直どっちに転んでも気にならないのですが。

*1:ZF 公理系が無矛盾ならばこの仮定は満たされます。

*2:例えば、Euclid 平面が可算個の曲線、すなわち、関数 $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ のグラフの和集合として表せることが証明できてしまうそうです。