黄金比(後編) - Red cat の数学よもやま話

$1,2,\frac32,\frac53,\frac85,\frac{13}{8},\frac{21}{13},\ldots$
この数列、実はある法則に従っています。

連分数展開との関係

前回、黄金比 $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ が満たすべき二次方程式
$x^2-x-1=0$
を導き出しました。この式をちょっと変形すると
$x=1+\frac1x$
なる式が現れます。ここで、右辺の x に、右辺の式そのものをそっくり代入することができて
$x=1+\frac{1}{1+\frac1x}$
となります。この作業は延々と繰り返せて、さらに
$x=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac1x}}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac1x}}}=\cdots$
とできます。このことを
$\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\cdots}}}}$
と書きます。このように、無理数を、無限に続く連分数の形に表すことを連分数展開と言います。この作業を途中で打ち切って計算すると、最初の数列が表れるのです。

フィボナッチ数列との関係

フィボナッチ数列とは、漸化式
$a_1=1,a_2=1,a_{n+2}=a_{n+1}+a_n(n\geq 1)$
で定義される数列のことですが、ここで $b_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}$ とおくと、この漸化式は
$b_1=1,b_{n+1}=1+\frac{1}{b_n}(n\geq 1)$
と変形できます。実はこの数列 $\{b_n\}$ も、最初に紹介した数列に一致します。従って、先程の連分数展開との関係からわかるように、この数列は黄金比 $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ に収束します。そう、フィボナッチ数列の隣り合う項の比は、黄金比に近づいていくのです。