黄金比(前編) - Red cat の数学よもやま話

黄金比と言うものを聞いた事がありますでしょうか。一辺の長さが 1 の正五角形の、対角線の長さのことです。この長さは $x=2\cos\frac{\pi}{5}$ で与えられます。ここで $\alpha=\frac{\pi}{5}$ について
$\cos 2\alpha+\cos 3\alpha=0$
が成り立つことを用いて少し計算してみます。例によって、三倍角の公式などは覚えませんので
$\begin{align}\cos 3\alpha&=\cos 2\alpha\cos\alpha-\sin 2\alpha\sin\alpha\\&=(2\cos^2\alpha-1)\cos\alpha-2\cos\alpha\sin^2\alpha\\&=2\cos^3\alpha-\cos\alpha-2\cos\alpha(1-\cos^2\alpha)\\&=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\end{align}$
なので
$2\cos^2\alpha-1+4\cos^3\alpha-3\cos\alpha=0$
となり、
$4\cos^3\alpha+2\cos^2\alpha-3\cos\alpha-1=0,$
両辺を 2 倍して $x=2\cos\alpha$ を代入すると
$x^3+x^2-3x-2=0$
と、x についての方程式が得られます。これは左辺が因数分解できて
$(x-2)(x^2-x-1)=0$
となりますが、x = 2 ならば $\cos\frac{\pi}{5}=1$ と言うことですから、これはありえません。従って x は二次方程式
$x^2-x-1=0$
の正の解であり、実際に計算すれば $x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ とわかります。(続く)