Torricelli's trumpet の表面積 - Red cat の数学よもやま話

Torricelli's trumpet は体積は有限確定であることは先程見ました。では表面積は、特に、 $y=\frac1x$ のグラフの $x\geq 1$ の部分を x 軸を中心に回転させてできる曲面の面積はどうでしょう。曲面積を S とすると
$S=2\pi\int\limits_1^\infty y\sqrt{1+{y'}^2}dx>\int\limits_1^\infty\frac1x dx=\infty$
となり、曲面積も無限大となります。無限に伸びる立体で、表面積も無限大なのに、体積は有限。ちょっと(かなり ?)不思議です。