えっ、結び目で多項式 !? - Red cat の数学よもやま話

trefoil clover

結び目からは、その結び目に特有の多項式が、様々な方法によって導き出され、結び目を特徴付ける、いわゆる「不変量」としての性格を持っています。
結び目における最も基本的な多項式は Alexander 多項式です。最も簡単な(自明でない)結び目は、数学界では "trefoil clover"*1 という愛称で呼ばれ、結び目理論においては $3_1$ 型の結び目、という言い方をされます。
この結び目の Alexander 多項式は $-1+(t^{-1}+t)$ *2で与えられることが知られています。
結び目には、この他にも Jones 多項式や Conway 多項式、HOMFLY 多項式など、様々な多項式が定義できます。

*1:右上の画像がそうです。この画像は Wikipedia からのものです。

*2:Alexander 多項式は $\pm t^{\pm n}$ 倍の差は無視されるので、この場合、 $1-t+t^2$ もまた $3_1$ 型結び目の Alexander 多項式です。