角の三等分は何故不可能か - Red cat の数学よもやま話

例えば 30°は三等分できません。30°/3 = 10° を作図するには $\sin 10^\circ$ がわかればできます。
三倍角の公式と
$\sin 30^\circ=\frac{1}{2}$
を用いると、 $x=\sin 10^\circ$ は
$8x^3-6x+1=0$
という三次方程式を満たします。ところが、この三次方程式、有理係数で既約なのです。ということは、有理数体 $\mathbb{Q}$ に $x=\sin 10^\circ$ を付け加えてできる拡大体 $\mathbb{Q}(x)$ は $\mathbb{Q}$ の 3 次拡大です。一般に、このような 2 のべき乗でない次数の拡大に関しては、作図できないことが知られています。従って 30°は三等分できないのです。
もちろん、90°などの特殊な角度は三等分可能ですが、勝手に与えられた角を三等分することは以上の理由によって不可能なのです。
それにしても、幾何の問題が代数の知識によって解決するというのは、不思議なものです。それもまた数学の魅力の一つだと思います。