集合論の公理系(その 11) - Red cat の数学よもやま話

しばらくぶりでした。今回は、分出公理図式を使って、いろいろな集合を定義してみましょう。

差集合

集合 a , b に対し、分出公理図式で
$u=a,\psi(x)\equiv x\not\in b$
として定まる集合を $a\setminus b$ と書き、差集合と言います。

共通部分(交わり)

$a\neq\emptyset$ とします。このとき $b\in a$ をひとつ固定して
$\bar{b}=\{x\in b|\forall y\in a(x\in y)\}$
とおきます。分出公理図式で
$u=b,\psi(x)\equiv\forall y\in a(x\in y)$
と置いたものになっています。ところで
$\begin{array}{ccl}x\in\bar{b}&\leftrightarrow&x\in b\wedge\forall y\in a(x\in y)\\&\leftrightarrow&\forall y\in a(x\in y)\end{array}$
が成り立つので、 $\bar{b}$ は、実は b によらない集合です。この集合のことを $\cap a$ と書きます。特に $a=\{x,y\}$ のときは $x\cap y$ と書いて、x と y の共通部分と言います。

直積集合

$x\in a,y\in b$ のとき、 $\langle x,y\rangle=\{\{x\},\{x,y\}\}\in\mathcal{P}(\mathcal{P}(a\cup b))$
であることがわかります。そこで分出公理図式で
$u=\mathcal{P}(\mathcal{P}(a\cup b)),\psi(x)\equiv\exists s\exists t(s\in a\wedge t\in b\wedge x=\langle s,t\rangle)$
と置いて定まる集合を $a\times b$ と書き、a と b の直積集合と言います。