円分多項式 - Red cat の数学よもやま話

代数学の体論で出てくる、「円分多項式」というものがあります。ここで、円分多項式について説明しましょう。なお、以下の内容は基本的に「代数概論 (数学選書)」(森田康夫著、裳華房)からの引用です。
その前に、まず「1 の原始 m 乗根」と言われるものについて説明しましょう。

$K$ を体とするとき, $K$ の元 $\zeta$ で, $\zeta^m=1(m\in\mathbb{N})$ となるものを, 1 の m 乗根とよぶ. 1 の m 乗根 $\zeta$ で, $1\le d<m$ なる d に対しては $\zeta^d\neq 1$ となるものを 1 の原始 m 乗根とよぶ.

つまり、1 の原始 m 乗根とは、m 乗して初めて 1 になる数のことです。そこで 1 の原始 m 乗根のひとつを $\zeta_m$ とするとき、m 次の円分多項式は
$\Phi_m(x)=\prod(x-{\zeta_m}^i),(i,m)=1$
で定義されます。 $\Phi_m(x)$ には以下のような性質があります。