Hom の左完全性の逆について(その 4)

数学・代数

ちょっと coffee break.
鎖複体
\mathbf{M}:0\to M_2\to M_1\to M_0\to 0
において、任意の左 R - 加群 N に対して双対鎖複体
{\rm Hom}_R(\mathbf{M},N):0\to{\rm Hom}_R(M_0,N)\to{\rm Hom}_R(M_1,N)\to{\rm Hom}(M_2,N)\to 0
が考えられる。Hom の左完全性の逆とはすなわち
H^0({\rm Hom}_R(\mathbf{M},N))=H^1({\rm Hom}_R(\mathbf{M},N))=0\Rightarrow H_0(\mathbf{M})=H_1(\mathbf{M})=0
ということである。一般に任意の R - 加群 N に対して
H^0({\rm Hom}_R(\mathbf{M},N))={\rm Hom}_R(H_0(\mathbf{M}),N)
だから、H^0({\rm Hom}_R(\mathbf{M},N))=0 からH_0(\mathbf{M})=0 はすぐわかる。したがって後示すことは H_1(\mathbf{M})=0 である。
今 R を左遺伝環とし、M_0,M_1,M_2 が全て射影的であるとする。このとき Universal coefficient theorem により
0\to{\rm Ext}_R(H_{n-1}(\mathbf{M}),N)\to H^n({\rm Hom}_R(\mathbf{M},N))\to{\rm Hom}_R(H_n(\mathbf{M}),N)\to 0 (exact)
であるから、n = 1 とおけば特に
H^1({\rm Hom}_R(\mathbf{M},N))\stackrel{\sim}{=}{\rm Hom}_R(H_1(\mathbf{M}),N)
である。仮定により左辺が 0 だから右辺も 0 , すなわち任意の左 R - 加群 N に対して
{\rm Hom}_R(H_1(\mathbf{M}),N)=0
なので H_1(\mathbf{M})=0 となり、題意は示された。